Visuaalne diferentsiaalgeomeetria ja vormid

Kutsuv, intuitiivne ja visuaalne diferentsiaalgeomeetria ja vormide uurimine

„Visuaalne diferentsiaalgeomeetria ja vormid“ täidab kahte peamist eesmärki. Esimeses neljas vaatuses asetab Tristan Needham geomeetria tagasi diferentsiaalgeomeetriasse . Kasutades 235 käsitsi joonistatud diagrammi, rakendab Needham Newtoni geomeetrilisi meetodeid, et anda klassikalistele tulemustele geomeetrilisi selgitusi. Viiendas vaatuses pakub ta esimese bakalaureuseõppe sissejuhatuse diferentsiaalvormidesse, mis käsitleb edasijõudnutele mõeldud teemasid intuitiivsel ja geomeetrilisel viisil.

Esimese nelja vaatuse ainulaadsete joonte hulka kuuluvad: neli erinevat geomeetrilist tõestust fundamentaalselt olulise globaalse Gauss-Bonneti teoreemi kohta, mis pakuvad hämmastavat seost lokaalse geomeetria ja globaalse topoloogia vahel; lihtne geomeetriline tõestus Gaussi kuulsale teoreemile Egregium; n -miku Riemanni kõverustensori täielik geomeetriline käsitlus; ja Einsteini väljavõrrandi detailne geomeetriline käsitlus, mis kirjeldab gravitatsiooni kõvera aegruumina (üldrelatiivsusteooria), koos selle mõjuga gravitatsioonilainetele, mustadele aukudele ja kosmoloogiale. Viimane vaatus selgitab selliseid teemasid nagu kõigi vektorarvutuse integraalteoreemide ühendamine; Maxwelli elektromagnetismi võrrandite elegantne ümbersõnastamine 2-vormide abil; de Rhami kohomoloogia; diferentsiaalgeomeetria Cartani meetodi abil liikuvate raamide abil; ja Riemanni tensori arvutamine kõverus 2-vormide abil. V vaatuse seitsmest peatükist kuut saab lugeda täiesti sõltumatult ülejäänud raamatust.

Nõudes vaid põhilisi arvutusi ja geomeetriat, mõtleb „Visuaalne diferentsiaalgeomeetria ja vormid” provotseerivalt ümber selle, kuidas seda olulist matemaatika valdkonda tuleks käsitleda ja õpetada.