Elliptilised kõverad

See raamat kasutab ilusat elliptiliste kõverate teooriat, et tutvustada lugejale arvuteooria mõningaid sügavamaid aspekte. See eeldab vaid põhialgebra, kompleksanalüüsi ja topoloogia tundmist, mida tavaliselt õpetatakse esimese aasta magistrikursustel.

Elliptiline kõver on tasapinnaline kõver, mis on defineeritud kuuppolünoomiga. Kuigi elliptilisel kõveral ratsionaalsete punktide leidmise probleem on matemaatikke paelunud juba antiikajast, tõestas Mordell alles 1922. aastal, et punktid moodustavad lõplikult genereeritud rühma. Rühma astme leidmiseks pole siiani tõestatud algoritmi, kuid ühes varasemas olulises arvutite matemaatikarakenduses avastasid Birch ja Swinnerton-Dyer seose astme ja kõveral olevate punktide arvu vahel, mis on arvutatud algarvu mooduli järgi. Raamatu IV peatükk tõestab Mordelli teoreemi ja selgitab Birchi ja Swinnerton-Dyeri hüpoteesi.

Iga ratsionaalarvude kohal oleva elliptilise kõvera külge on kinnitatud L-seeria. Hasse oletas, et see L-seeria rahuldab funktsionaalset võrrandit, ja 1955. aastal pakkus Taniyama välja, et Hasse'i hüpoteesi saab tõestada, näidates, et L-seeria tuleneb modulaarsest vormist. Wiles (ja teised) näitasid selle õigsust 1990. aastatel ning selle tulemusel saadakse Fermat' viimase teoreemi tõestus. Raamatu V peatükk on pühendatud selle töö selgitamisele.

Esimesed kolm peatükki arendavad elliptiliste kõverate põhiteooriat.

Selle väljaande jaoks on tekst täielikult läbi vaadatud ja ajakohastatud.